Pytanie do forumowych matematyków- liczby zespolone

Pytanie do forumowych matematyków- liczby zespolone

Jak tutaj został obliczony kąt fi?
Bo rozumiem, że alfa została wzięta z tablic, ale pi - pi/3 = 2/3pi zupełnie nie wiem jak to się stało, jest to jakaś zależność czy coś takiego?

(białe pola zrobione żeby zdjęcie się zmieściło)

To proste jak sznurek w kieszeni. Na przykladzie jablka
masz jedno jablko i odemjujesz 1/3 jablka ktore zjadles. Ile jablka Ci zostalo?? - 2/3 jablka :P

Przy cos(fi) < 0 i sin(fi) >0, fi = Pi - alfa; gdzie alfa jest obliczone z cos(a)=|cos(fi)|, sin(a) = sin(fi) (czyli z cos(a)=1/2; sin(a) = sqrt(3)/2).

No i wychodzi alfa = 1/3 pi, czyli fi = Pi - 1/3Pi = 2/3Pi.

Faktycznie! Rety, ale ja głupi jestem, dzięki!

PaWeLos- ja sinusa i cosinusa obliczyłem z funkcji trygonometrycznej dowolnego kąta skierowanego.

A mógłby mi ktoś powiedzieć co tu się stało? ->
Trójkąt Pascala- jest, zmiana znaków na podstawie potęgi liczby urojonej- jest, ale co się później stało?
Nie mam pojęcia...

Można przyjąć, że potęgujemy liczbę zespoloną w postaci trygonometrycznej, której moduł równa się jeden- tłumaczyłoby to wtedy cos5fi + isin5fi na końcu, ale czemu to się wszystko tak poskracało?

(ponownie białe pola by się wszystko zmieściło, nic nie zostało ucięte)

To się nie poskracało, tylko zwyczajnie wyprowadzono wzór na rozwinięcie cos5x i sin5x korzystając z jednej strony ze wzoru dwumianowego Newtona, a z drugiej ze wzoru de Moivre'a.

A faktycznie.
Tylko dlaczego wtedy później na samym dole jest coś takiego?

cos5fi= cos^5fi - 10cos^3fi * sin^2fi + 5cosfi * sin^4fi
sin5fi= 5cos^4fi * sinfi - 10cos^2fi * sin^3fi = sin^5fi

Jakaś fuzja Newtona i Moivre'a? Nigdzie nie mogę znaleźć informacji na ten temat.

Liczby zespolone są sobie równe wtedy i tylko wtedy, gdy równe są odpowiednio ich części rzeczywiste i urojone. Czyli symbolicznie:
a+b*i = c+d*i
wtedy i tylko wtedy gdy
a = c oraz b = d

Teraz się przyjrzyj swoim równościom. Z jednej strony (ze wzoru Newtona) masz:
(cos(x) + i*sin(x))^5 = blabla + bleble + bloblo + i * (bubu + bebe + baba)

Z drugiej jednak strony (ze wzoru Moivre'a):
(cos(x) + i*sin(x))^5 = cos(5x) + i*sin(5x)

A ponieważ obie te (wytłuszczone powyżej) wartości są sobie równe (bo obie są równe (cos(x) + i*sin(x))^5), to z warunku równości liczb zespolonych możemy przyrównać ich części rzeczywiste i urojone. Stąd ostatnia linijka twoich notatek.

Dzięki bardzo, teraz widzę jak bardzo zmarnowałem 3 lata na humanie.