Im dłużej to rozkminiam, tym bardziej w to wierzę...
Nie ma błędu.
Garret - obustronnie odejmujesz 'a', mistrzu.
Dla niedowiarków, dowód:
a = 9/10 + 9/100 + 9/1000
Jest to ciąg nieskończony, wyliczam iloraz ciągu:
9/100 = 9/10 * q => q= 1/10
Suma nieskończonego ciągu geometrycznego
S = a(1) / 1-q
S = 9/10 / 1 - 1/10 = 1
Pewno błędem jest pewne założenie jeśli chodzi o uproszczanie liczb w okresie, o których nikt się nie uczył. Bo przecież nie może wychodzić taka równość że 0,(9)=1 bo wtedy zatraca się sens samego =. No bo równość nie może być nierównościom. Pewno jest na ten temat jakieś założenie.
[9] pomiędzy 0,(9), a 1 nie ma innej liczby, więc można założyć, że są równe
To jest pewnie zwykła dziura w matematyce, więc żeby nie było szumu to ktoś powiedział, że "od dziś 0,9999 jest równe 1" :)
0,888888(8).....9
Szybcy jesteście. To zwykła prawda matematyczna. Chociaż ja w nią osobiście "nie wierzę" i uważam, że jest błędna. Jeśli podejść do kwestii logicznie to okaże, że jakkolwiek blisko "skończoności" (0,99999999999...) się nie znajdziemy, to jednak wciąż do tej całości nie docieramy (1). Jakim prawem coś niekompletnego, nieskończenie bliskiego całości może być całością? Według mnie to jest zagadnienie, którego nie można rozwiązać za pomocą skomplikowanie wyglądającego dowodu matematycznego, który tak na prawdę jest trikiem - umiejętnym wykorzystaniem założeń matematyki by wykazać jakiś fakt. I zwijcie mnie niedouczonym cieciem, ale to moje zdanie. Dziękuję i dobranoc.
Zwykła prawda matematyczna udowodniona wieeeeeloma sposobami (radze zajrzeć na angielską wiki o 0.(9)), a że się to wydaje niemożliwe... Lepiej o tym specjalnie nie myśleć, jak z dzieleniem przez 0, jeszcze ktoś przez przypadek ktoś dowiedzie, że to nie prawda i rozpieprzy wszechświat :)
Sęk jest tylko w tym że 9 w okresie powtarza się w nieskończoność. Jeśli za nieskończoność uznalibyśmy literę "n" to w przypadku mnożenia przez 10 przesuwamy przecinek o jedno miejsce w prawo jednocześnie nie dopisując kolejnej cyfry na końcu, w efekcie dziewiątek po przecinku zrobi się o jedną mniej -> "n-1" i tutaj jest ten brakujący kawałek.
Z tym drugim obrazkiem sytuacja ma się tak samo. Wszystko z powodu niemożności określenia nieskończoności. Ciąg podstawiony za x może kończyć się na 2 sposoby: 1-1 albo 1-1+1 w efekcie wyniki mogą być dwa: 1-(0) raz 1-(1). Jak nietrudno zauważyć, 1/2 to średnia arytmetyczna z 2 równie prawdopodobnych wyników :)
pajkul [10] ==> Podałeś jedynie przykład obrazujący zasadę, że (na ogół) nie można grupować wyrazów w sumach nieskończonych (chyba, że szereg jest zbieżny, a w przypadku tego tak niestety nie jest).
[22]
Nieskonczonosc o ile sie nie myle ma te fajna zaleznosc, ze pomnozona przez cokolwiek dalej bedzie nieskonczonoscia.
Nieskończoność tak ale nieskończony ciąg cyfr można śmiało mnożyć.
[10]
Jakiś czas temu miałem o tym wykład. Taka suma nie istnieje.
Co ciekawe, jeśli mamy nieskończone sumy to nie można zmieniać kolejności działań. Taki przykład:
S=1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6+1/7...=(1-1/2)-1/4+(1/3-1/6)-1/8+(1/5-1/10)-1/12...=1/2-1/4+1/6-1/8+1/10-1/12...=(1/2)*(1-1/2+1/3-1/4+1/5-1/6...)=S/2 co jest fałszem.
Oczywiście błędem jest drugi znak równości.
Wątek ma kilka dni, ale dorzucę swoje dwa grosze.
To zwykła prawda matematyczna. Chociaż ja w nią osobiście "nie wierzę" i uważam, że jest błędna. Jeśli podejść do kwestii logicznie to okaże, że jakkolwiek blisko "skończoności" (0,99999999999...) się nie znajdziemy, to jednak wciąż do tej całości nie docieramy (1). Jakim prawem coś niekompletnego, nieskończenie bliskiego całości może być całością?
W tym zdaniu powyżej jest błąd logiczny, wynikający z niezgodnych z codziennym doświadczeniem własności nieskończoności (aktualnej). Cyfr 9 w rozwinięciu nie jest 100, ani też 1000. Ile byś nie wymienił, będzie ich tam więcej. Jak więc
Jest prostsze rozumowanie (przez zaprzeczenie), które może trafi do Waszej wyobraźni. Gdyby 0,(9) było czymś innym niż 1, to istniałaby liczba d rozdzielająca je, tzn. 0,(9) < d < 1 (z gęstości ciała liczb rzeczywistych) (rysunek górny). W takim razie spróbujmy się zbliżyć do liczby 0,(9) przez jej skończone przybliżenia początkowych "odcinków", to jest:
a1 = 0,9
a2 = 0,99
a3 = 0,999
itd. (rysunek środkowy)
Widać, że takie liczby a dążą do 0,(9) i wszystkie są od niej mniejsze, a każda następna większa od poprzedniej. Ktoś, kto miał styczność z elementami analizy matematycznej, powiedziałby, że ten ciąg jest zbieżny, bo ściśle rosnący i ograniczony z góry. Musi zatem być zachodzić:
a1 < a2 < ... < a_n < 0,(9) < d < 1
Ale to też oznacza, że nie może być tak, że któraś liczba a przeskoczy d (dałoby to sprzeczność z wyborem tej liczby d).
No to zobaczmy ile takiej liczbie brakuje do jedynki.
a1 brakuje 0,1
a2 brakuje 0,01
a3 brakuje 0,001
czyli liczbie a_n brakuje 0,(0)1 gdzie tych zer jest w sumie tyle, ile n wynosi.
Ponieważ uważasz, że 0,(9) jest różne od 1, to trzymamy w ręku liczbę d, która ma je rozdzielać. Ale podążanie za liczbami a_n zostawia coraz mniej miejsca na to wybrane z góry d. Popatrzywszy na rysunek dolny i zobaczywszy jak wyglądają te różnice, zobaczysz że nie ma tam miejsca, bo:
z: a_n < d < 1
wynika: 1 - a_n > 1 - d > 0
1 - a_n = 10^(-n) ---- ta liczba może być bardzo, bardzo mała, ale wciąż pozostaje dodatnia.
e := 1 - d ----- liczbie d brakuje e = 1 - d > 0 (bo d < 1). Ale jak mała e by nie była, jeśli jest ustalona, jest takie n, że 10^(-n) jest mniejsze od niej (muszę szybko skończyć, więc nie spiszę teraz tych nierówności).
To oznacza, że nie ma takiego d, które rozdziela 0,(9) i 1. A jeśli nie jest możliwe wskazanie liczby pomiędzy dwiema liczbami, to znaczy, że są one równe. To nie chodzi o to, że są one podobne. Że to jakiś trik. To ta sama liczba, tylko sposób zapisu inny. Ta "niesamowitość" z którą ciężko Ci się pogodzić, to fakt, że nie da się wyobrazić nieskończonego ciągu 9. To nie trik, to własność nieskończonego zapisu okresowego. Zaś równość z jedynką, to tylko logiczny wniosek.
Ale osoba która twierdzi że na końcu brakuje "0,(0)1" też ma rację. Zapisując to jako np. 1/10^n dla n dążącego do nieskończoności. W jednym ze sposobów udowodnienia 0,(9) = 1 została furtka. Tym sposobem jest udowodnienie że 0,(9) ma granicę w jedynce. W ten sam sposób granica 1/10^n dla n dążącego do nieskończoności wynosi zero. Co za tym idzie: 0,(9) = 1, 1/10^n = 0, 0,(9)+1/10^n=1 bo 1+0=1. Tym samym także 0,(9)+1/10^n = 0,(9)-1/10^n :)
Zgadza się. To tylko ja musiałem szybko do żłobka po dziecko jechać.
Oczywiście, możnaby napisać to dużo krócej. Jednak moim celem było przedstawić argument zdatny do prostego wizualnego wyobrażenia, skoro abstrakcyjne rozumowanie w niektórych głowach nie działa.
*****
Powyższy mój wywód zawiera cztery elementy:
* jeśli 0,(9) != 1, to musi istnieć liczba, które je rozdziela;
* przeformułowanie problemu z rozdzielania 0,(9), d i 1 na odległości pomiędzy tymi liczbami,
* przybliżenie odległości między 0,(9) i 1 przez ciąg 0,0..01
* i pokazanie, że ciąg ten przekroczy każdą bardzo małą, lecz z góry ustaloną liczbę - czyli także hipotetyczną odległość między d a 1.
Trzy pierwsze są powyżej. Czwarty łatwo sobie wyobrazić rozumując następująco - mamy ustaloną małą liczbę e. Możliwe, że jest bardzo mała, ale jednak jest dodatnia (bo w końcu przyjęliśmy tymczasowo, że między 0,(9) a 1 jakaś przerwa jest). Pewnie jakieś liczby z ciągu (0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, itd) są od e większe. Ale któryś wyraz w końcu musi być od niej mniejszy (to uproszczenie rozumowania Cauchy'ego o granicy; dla ciągu 10^(-n) wystarczy, aby n > - log_10(e) + 1). To oznacza dokładnie to samo, co to, że ciąg a_n przeskoczy liczbę d. A ponieważ d wybrałem dowolnie, byleby tylko rozdzielało 0,(9) i 1, więc między tymi liczbami nie ma żadnej innej. W liczbach rzeczywistych może się tak zdażyć tylko i wyłącznie wtedy, gdy jest to ta sama liczba.
*****
Całość problemu zasadza się na zrozumieniu, że tam w tym 0,(9) jest schowana nieskończoność. I to nieskończoność aktualna - nieskończony podział skończonego odcinka. I że rozumowanie dookoła niej zwykle wymaga skorzystania gdzieś z przejścia granicznego (u mnie tam, gdzie mówię, że da się przeskoczyć 0,0..01 ustaloną liczbę). Skoro sam wielki Leibniz pisał: "nie ma nic bardziej namacalnego niż absurdalność idei liczby aktualnie nieskończonej" to ja się nie dziwię, że można tego nie rozumieć. Jednak nauka umie już sobie z tym poradzić, nieskończoność aktualna jest jej istotną częścią i należy do programu nauczania. Więc warto opowiadać to tak, żeby widać to było naocznie.
To rozumowanie jest zgrabniejsze przy obrazkach i machaniu rękami :) Jak spisałem, to jakieś przyciężkawe wyszło.
errata: liczbie a_n brakuje 0,(0)1 gdzie tych zer jest w sumie tyle, ile n wynosi
Miałem na myśli 0,0..01. To powyżej to błąd.
Coś jak to, że wilk nie może przegonić żółwia, bo co jakiś tam odcinek czasu zmniejsza swoją odległość do niego 2-krotnie, więc zawsze będzie jakieś 1/2 z odległości między nimi. 0,(9) = 1, bo nie ma żadnej liczby, która byłaby większa od 0,(9) i równocześnie mniejsza od 1. EoT!
