--> Archiwum Forum
persik_ [ przyrodnik ]
Zadanie z geometrii - III klasa LO
Mam problem z następującym zadaniem:
Oblicz długość boków trapezu równoramiennego znając jego obwód 20, długość przekątnej (pierwiastek z 41) oraz wiedząc, że w trapez ten można wpisać okrąg.
Mam wrażenie, że zrobiłem dość dużą część zadania, brakuje mi powiązania z czymkolwiek tej przekątnej.
x + y = 5
Wynika to z warunku wpisywalności -> 2x+2y = 2x + 2y
Z obwodu wiemy, że 4x+4y=20, dzieląc przez 2 -> 2x+2y=20. Jako, że trapez jest równoramienny, x+y=5.
No i brak mi długości podstaw, nie mogę wymyślić jak do tego dojść. W każdym bądź razie poprawna odpowiedź to 8/2/5/5.
Matematykę w liceum mam na poziomie podstawowym, jeśli to ma jakieś znaczenie (mogę nie znać jakiegoś twierdzenia, etc).
Finthos [ Generaďż˝ ]
persik_ [ przyrodnik ]
Na czerwono przekątna..
Finthos [ Generaďż˝ ]
Zadanie po przemyśleniu okazało się bardzo proste, zaćma boli.
Spuszczasz wysokość z wierzchołka C, otrzymując trójkąt prostokątny.
Przeciwprostokątna to przekątna, przyprostokątne to y+x i 2r. r jest równe sqrtxy, ponieważ jest wysokością w trójkącie prostokątnym SBC opadającą na przeciwprostokątną, co oznacza, że dzieli ją w stosunku liczb, których sama jest średnią geometryczną.
Otrzymujesz równanie:
41=(x+y)^2+4xy
Dalej sobie poradzisz.
hctkko. [ The Prodigy ]
mialem jeszcze cos napisac ale mnie uprzedzono :D
ale podstawa to dobry rysunek :)
persik_ [ przyrodnik ]
, ponieważ jest wysokością w trójkącie prostokątnym SBC opadającą na przeciwprostokątną, co oznacza, że dzieli ją w stosunku liczb, których sama jest średnią geometryczną.
Próbuję już kilka minut zrozumieć to co napisałeś, nie bardzo mi to jednak wychodzi. Da się to powiedzieć w jakiś odrobinę prostszy sposób?:)
Finthos [ Generaďż˝ ]
W trójkącie prostokątnym wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki, których sama jest średnią geometryczną. Jaśniej?
persik_ [ przyrodnik ]
Teraz rozumiem. Problem w tym, czy nauczycielka takie rozumowanie przyjmie, bo takiego prawa/twierdzenia nam nie przedstawiała. Spróbuję to jakoś wyprowadzić i dam znać czy poszło do przodu ;)
Finthos [ Generaďż˝ ]
Mamy trójkąt o bokach a,b,c gdzie c jest przeciwprostokątną. Na bok c opuszczamy wysokość h, która dzieli go na odcinki x i y.
Z tw, Pitagorasa:
h^2+x^2=b^2
h^2+y^2=a^2
c^2=(x+y)^2
Teraz standardowy wzór:
a^2+b^2=c^2
I podstawiamy:
h^2+y^2+h^2+x^2=x^2+2xy+y^2
Skracamy:
2h^2=2xy
h=sqrt(xy)
persik_ [ przyrodnik ]
O widzisz, teraz wszystko jasne :) Znalazłem jeszcze drugie rozwiązanie, zaraz wkleję w celu jakiejś ewentualnej korekty.
persik_ [ przyrodnik ]
Wymyśliłem, żeby skorzystać z tego trójkąta - mam przeciwprostokątną, bok "dolny" to w moim przypadku x+y, mogę więc liczbowo uzyskać wysokość h zaznaczonego trójkąta. Z tego układ równań (x+y)^2 + h^2 = 41 i (x-y)^2 + h^2 = 25 i z niego też ładnie wychodzi, chociaż do zeszytu wbiję Twoje rozwiązanie bo jest znacznie wygodniejsze. Wielkie dzięki za pomoc.
